Baptiste Mélès

La distributivité en logique propositionnelle

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Cette page présente une fiche de synthèse sur la distributivité en logique propositionnelle.

Il s'agit en réalité d'un programme informatique, écrit en PHP, qui calcule en direct, à chaque fois que vous affichez cette page, la distributivité des différents opérateurs de logique propositionnelle entre eux (par la méthode des tables de vérité) :

distributivité de la conjonction :
- sur la conjonction ;
- sur la disjonction ;
- sur l'implication ;
- sur l'équivalence ;
distributivité de la disjonction :
- sur la conjonction ;
- sur la disjonction ;
- sur l'implication ;
- sur l'équivalence ;
distributivité de l'implication :
- sur la conjonction ;
- sur la disjonction ;
- sur l'implication ;
- sur l'équivalence ;
distributivité de l'équivalence :
- sur la conjonction ;
- sur la disjonction ;
- sur l'implication ;
- sur l'équivalence ;

Résumé des tables de vérité qui suivent :

la conjonction n'est distributive que sur la conjonction et la disjonction, mais non sur l'implication et l'équivalence ;
la disjonction et l'implication sont distributives sur tous les opérateurs ;
l'équivalence n'est distributive sur aucun opérateur.

Voici le code source du programme (sous licence GPL — vous êtes libres de le copier, de le modifier, de le redistribuer) : distributivite.phps. Pour l'exécuter chez vous, installez un serveur PHP et donnez au fichier l'extension .php.

Distributivité de la conjonction

Distributivité de la conjonction sur la conjonction

p	q	r	q ∧ r	p ∧ q	p ∧ r	p ∧ (q ∧ r)	(p ∧ q) ∧ (p ∧ r)	p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)
0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la conjonction est distributive sur la conjonction.

Distributivité de la conjonction sur la disjonction

p	q	r	q ∨ r	p ∧ q	p ∧ r	p ∧ (q ∨ r)	(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)	p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	1	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la conjonction est distributive sur la disjonction.

Distributivité de la conjonction sur l'implication

p	q	r	q → r	p ∧ q	p ∧ r	p ∧ (q → r)	(p ∧ q) → (p ∧ r)	p ∧ (q → r) ↔ (p ∧ q) → (p ∧ r)
0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la conjonction n'est pas distributive sur l'implication.

Distributivité de la conjonction sur l'équivalence

p	q	r	q ↔ r	p ∧ q	p ∧ r	p ∧ (q ↔ r)	(p ∧ q) ↔ (p ∧ r)	p ∧ (q ↔ r) ↔ (p ∧ q) ↔ (p ∧ r)
0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la conjonction n'est pas distributive sur l'équivalence.

Distributivité de la disjonction

Distributivité de la disjonction sur la conjonction

p	q	r	q ∧ r	p ∨ q	p ∨ r	p ∨ (q ∧ r)	(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)	p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la disjonction est distributive sur la conjonction.

Distributivité de la disjonction sur la disjonction

p	q	r	q ∨ r	p ∨ q	p ∨ r	p ∨ (q ∨ r)	(p ∨ q) ∨ (p ∨ r)	p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)
0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la disjonction est distributive sur la disjonction.

Distributivité de la disjonction sur l'implication

p	q	r	q → r	p ∨ q	p ∨ r	p ∨ (q → r)	(p ∨ q) → (p ∨ r)	p ∨ (q → r) ↔ (p ∨ q) → (p ∨ r)
0	0	0	1	0	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1	1	1
1	0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la disjonction est distributive sur l'implication.

Distributivité de la disjonction sur l'équivalence

p	q	r	q ↔ r	p ∨ q	p ∨ r	p ∨ (q ↔ r)	(p ∨ q) ↔ (p ∨ r)	p ∨ (q ↔ r) ↔ (p ∨ q) ↔ (p ∨ r)
0	0	0	1	0	0	1	1	1
0	0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0	0	0	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : la disjonction est distributive sur l'équivalence.

Distributivité de l'implication

Distributivité de l'implication sur la conjonction

p	q	r	q ∧ r	p → q	p → r	p → (q ∧ r)	(p → q) ∧ (p → r)	p → (q ∧ r) ↔ (p → q) ∧ (p → r)
0	0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'implication est distributive sur la conjonction.

Distributivité de l'implication sur la disjonction

p	q	r	q ∨ r	p → q	p → r	p → (q ∨ r)	(p → q) ∨ (p → r)	p → (q ∨ r) ↔ (p → q) ∨ (p → r)
0	0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'implication est distributive sur la disjonction.

Distributivité de l'implication sur l'implication

p	q	r	q → r	p → q	p → r	p → (q → r)	(p → q) → (p → r)	p → (q → r) ↔ (p → q) → (p → r)
0	0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'implication est distributive sur l'implication.

Distributivité de l'implication sur l'équivalence

p	q	r	q ↔ r	p → q	p → r	p → (q ↔ r)	(p → q) ↔ (p → r)	p → (q ↔ r) ↔ (p → q) ↔ (p → r)
0	0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'implication est distributive sur l'équivalence.

Distributivité de l'équivalence

Distributivité de l'équivalence sur la conjonction

p	q	r	q ∧ r	p ↔ q	p ↔ r	p ↔ (q ∧ r)	(p ↔ q) ∧ (p ↔ r)	p ↔ (q ∧ r) ↔ (p ↔ q) ∧ (p ↔ r)
0	0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'équivalence n'est pas distributive sur la conjonction.

Distributivité de l'équivalence sur la disjonction

p	q	r	q ∨ r	p ↔ q	p ↔ r	p ↔ (q ∨ r)	(p ↔ q) ∨ (p ↔ r)	p ↔ (q ∨ r) ↔ (p ↔ q) ∨ (p ↔ r)
0	0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	1	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0	0	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'équivalence n'est pas distributive sur la disjonction.

Distributivité de l'équivalence sur l'implication

p	q	r	q → r	p ↔ q	p ↔ r	p ↔ (q → r)	(p ↔ q) → (p ↔ r)	p ↔ (q → r) ↔ (p ↔ q) → (p ↔ r)
0	0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'équivalence n'est pas distributive sur l'implication.

Distributivité de l'équivalence sur l'équivalence

p	q	r	q ↔ r	p ↔ q	p ↔ r	p ↔ (q ↔ r)	(p ↔ q) ↔ (p ↔ r)	p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ (p ↔ r)
0	0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	1

Résultat : l'équivalence n'est pas distributive sur l'équivalence.

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